Пример e1401

Условие

Источник задания: kompege.ru — 7702

Дано арифметическое выражение 5xyА₁₈ + 18х7_y. Определите, сколько различных значений может принимать выражение при всех возможных x и y.

Решение

Для начала посмотрим на второе слагаемое. Основание системы счисления представлено неизвестным выражением y. Необходимо выяснить в каком диапазоне y может изменяться. В самом слагаемом 18х7 есть цифра восемь, а это значит, что в систему счисления y восьмерка должна входить, следовательно y больше восьми. Нижняя граница определена — 9. Определим верхнюю границу, для этого рассмотрим первое слагаемое 5xyA. Число записано в системе счисления с основанием восемнадцать, следовательно в переводе в десятичную y не должно превосходить число восемнадцать. Верхняя граница — 17.

Для поиска ответа напишем программу:

Переберем все значения y.

            #начало фрагмента
for y in range (9, 18):
#конец фрагмента

Разберемся с выражением x — это цифра в обоих слагаемых. А так, как она одинаковая для них, опираться необходимо на систему счисления, чтобы случайно не подставить цифру, которой в системе счисления нет. То есть x должен быть меньше y на один.

Переберем все значения x.

            #начало фрагмента
for x in range (y):
#конец фрагмента

Соберем каждое слагаемое отдельно. В циклах мы будем перебирать числа, то функцию int() использовать нельзя, так как значения в десятичной системе счисления будут сильно отличаться от тех, которые должны быть на самом деле. Напишем перевод в десятичную систему счисления вручную.

Пусть a и b будут первым и вторым слагаемыми.

            #начало фрагмента
a = 5 * 18**3 + x * 18**2 + y * 18 + 10
b = 1 * y**3 + 8 * y**2 + x * y + 7
#конец фрагмента

Полученные суммы будем добавлять в множество, так как при получении повторных значений они будут игнорироваться.

            #начало фрагмента
sp = set()
#разрыв
sp.add(a + b)
#конец фрагмента

Выведем длину множества на экран.

            #начало фрагмента
print(len(sp))
#конец фрагмента

Листинг программы

            sp = set()

for y in range(9, 18):
    for x in range(y):
        a = 5 * 18**3 + x * 18**2 + y * 18 + 10
        b = 1 * y**3 + 8 * y**2 + x * y + 7
        sp.add(a + b)

print(len(sp))

Ответ

116